由于B站的专栏只允许插入100张图片，且把数学公式视作了图片，所以文章不得不分成几部分来写，见谅。

(资料图片)

一维束缚态的更多特征

由不简并定理出发，我们还能得到更多的定理。

由于波函数是复函数，可以分解为振幅和相位两个因子，写作下面的形式：

其中  和  都是实函数，  称为波函数的模，  称为相位函数。

定理：一维束缚态波函数的相位函数  必是常数。

证明：由共轭定理， 也是方程的解，而由不简并定理，一维束缚态波函数和它的复共轭必然只相差一个常数，即

两边都写作振幅和相位函数的乘积，由于振幅是实函数，其复共轭就是它本身，因此可以约去，得到

那么只能  是常数。

推论：一维束缚态波函数可以取为实函数，因为  常数 可以取作0。

说明：非束缚态（散射态）的波函数是根据边界条件来确定的，通常不会导致实的波函数。

宇称定理

如果  ，则一维束缚态波函数必有确定的宇称性，即

证明：根据反射定理，如果，则  和  表征同样的量子态且能量相同。而  是一维束缚态的波函数，根据不简并定理，一维束缚态必是非简并态，拥有和  相同能量的波函数与它线性相关， 那么波函数  和  之间只相差一个常数，即 ，取  即可得证。

束缚态的能级

除了上面提到的两个特征外，束缚态（不只是一维束缚态）还有一个更重要的特征：它的能级是不连续（离散）地变化的，即，仅仅当 E 取某些离散的数值的时候，定态薛定谔方程才有单值、有限、连续的解。这就是通常所说的能量的量子化。

关于这一点，我们不做严格的证明，我们通过一个图像来予以直观的说明：

如上图所示，我们画出了两个坐标系，上面是 V-x 坐标系，横轴是坐标 x，纵轴是势能 V，其中  是选定的某个能量，在势能等于能量时，也即虚线和曲线相交的地方，波函数的二阶导数等于0，这个通过一维定态薛定谔方程很容易看出来。根据  和 V 的大小关系，图中标出了经典禁戒区和经典允许区。

下面是 a(x)-x 坐标系，横轴是坐标 x ，纵轴是波函数的值，这里 a(x) 就是波函数 。

现在设想，我们的观察点从左边的无穷远处  向右方跑动，由于我们观察的是束缚态，左边无穷远处开始的时候，a(x) 是等于0的，从左边无穷远到  这一点，一直处于经典禁戒区，波函数是单调上升的，正如  坐标系中， 左边的曲线所表示的样子。

到了  ，也即进入允许区后，波函数就变成了振荡的形式，振荡的振幅和频率取决于在  处波函数自身连续以及波函数一阶导数连续的衔接条件。这个振荡的行为一直持续到   。

问题在于，当我们的观察点从  继续向右时，波函数会如何变化呢？此时将从经典允许区进入经典禁戒区，由于波函数必须服从薛定谔方程，对于  的波函数的表现就要由薛定谔方程以及这一点的边界条件来决定（  处波函数的值以及它一阶导数的值）。

如果这一点的波函数取的不合适，那么完全有可能出现这样的情形：

右方的波函数从  出发不断上升（经典禁戒区单调性），它自身是大于0的，它的一阶导数也是大于0的，那么波函数的值就不断上升直至无穷大，这在物理上是不允许的。

我们可以把能量的值略加提高  使得在经典允许区波函数经历更多的振荡：

这时当观察点到达  时，波函数的一阶导数就可以变成负的。但是这又带来了另一个危险：这个负值太大了，使得波函数的曲线与横轴相交，并向下不断延伸，直至 ，这个过程仍然是物理上不能允许的。

于是情况就只能变得非常微妙，能量高了也不行，低了也不行，存在一个刚刚好的能量 E，使得波函数能满足当  时， ，也如下图所示：在  右边，上面的虚线是第一种情形，能量太低，下面的虚线是第二种情形，能量太高，只有当能量刚刚好的时候，使得这条实线的情况得以发生，这才是物理上可接受的量子状态。

我们刚刚在经典允许区中画出来的波函数在能量比较低的情况经历了那么多次的振荡，这个是不一定的。当能量比较低的时候，波函数完全有可能只经过了一个极大值，如下图中  的位置，也即取  时，在经典允许区就只有一个峰值。

当我们把能量提高的时候，经典允许区里面可能就出现一正一负两个峰值，如  所示。

进一步提高能量，就有可能出现下图所示的两个波峰一个波谷的情形，等等。

对于束缚态而言，这种波函数的峰值出现的情形和对应的能级的位置，图所表达的情形是普适的。

刚才我们以一种图像的方式证明了存在着确定的、离散的能量本征值使得波函数满足处处单值、有限、连续的条件。

在数学上，有严格的理论（Sturm-Liouville理论）可以证明离散本征值的存在。